一个将角编了号的正三角形可以进行如下二种运动： (a)沿过顶点1的高h翻转180°，我们将这个运动用字母a来表示：

(b)沿过三角形的外心，垂直于三角形所在平面的有向轴L（注意：三角形翻转时L 轴也随着翻转的），按右手法则旋转120°（右手法则是指用右手大拇指指向L轴的 方向，由其余四指决定旋转方向的法则），我们将这样的运动用字母b来表示：

如果将a，b作为运算对象，并将两个运动连续进行看作是一种运算（这里不妨也称 为乘法），则对图一的三角形而言，bb的结果便成为：　

若将运动前后的三角形状态简称为元素，那么三角形状态就可与运动的表达式关联起 来。据此，请回答如下问题： ①从图一的三角形的原始状态出发，可以运动出多少种不同的状态的三角形，试写出 最简单的运算表达式（借助于a，b与乘法运算）： ②这样定义的乘法运算是否符合交换律与结合律？ ③如果将从三角形的某种状态运动回到原始状态称之为该元素的逆元素，例如：

∴ bb的逆元素为b，可表示为(bb)^(-1)=b
试求：(1)a^(-1)= (2)(ab)^(-1)=
(3)((aa)a)^(-1)= (4)b^(-1)=
本题共16分（6+2+8）
答案：① 可有如下6种情况：
（1）b （2）bb或b2或aba （3）bbb或b3或aa
（4）a （5）ab或b2a或bba （6）abb或ab2或ba
② 符合结合律而不符合交换律
③（1）a^(-1)=a （2）(ab)^(-1)=bba （3）((aa)a)^(-1)=a （4）b^(-1)=bb